Égalité de deux complexes

Proposition  

Soit  \(z=x+iy\) et  \(z'=x'+iy'\) deux nombres complexes avec \(x,x',y, y'\)  des réels.
On a : \(z=z' \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=x' \text{ et } y=y'\) .

Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Démonstration

\((\Leftarrow)\) C'est évident : si  \(x=x'\) et \(y=y'\) , alors  \(x+iy=x'+iy'\) et donc \(z=z'\) .

\((\Rightarrow)\) Supposons que \(z=z'\) . On a alors : 
\(z = z' \iff x + iy = x′ + iy' \iff x + iy − x′ − iy' = 0 \iff (x − x′ ) + i(y − y' ) = 0\) .

Par unicité de la forme algébrique de 0, on a : \(x-x'=0\) et \(y-y'=0\) , donc \(x=x'\) et \(y=y'\) .

R emarque

Par contraposée, on déduit de la propriété précédente que : \(z \neq z' \ \Longleftrightarrow \ x \neq x' \text{ ou } y \neq y'\) .